In diesem Kapitel lernen wir, wie man Matrizen multipliziert.
Inhaltsverzeichnis
Erforderliches Vorwissen
- Grundlagen der Matrizenrechnung
- Skalarprodukt berechnen
Voraussetzung
Zwei Matrizen lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.
Beispiel 1
Ist eine Multiplikation der Matrizen
$$ A_{(2,{\color{green}3})} \cdot B_{({\color{green}3},2)} = \begin{pmatrix} {\color{green}a_{11}} & {\color{green}a_{12}} & {\color{green}a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{green}b_{11}} & b_{12} \\ {\color{green}b_{21}} & b_{22} \\ {\color{green}b_{31}} & b_{32} \end{pmatrix} $$
möglich?
Das Multiplizieren von $A$ und $B$ ist möglich,da die Spaltenanzahl von $A$ der Zeilenanzahl von $B$ entspricht.
Beispiel 2
Ist eine Multiplikation der Matrizen
$$ A_{(2,{\color{red}3})} \cdot B_{({\color{red}2},2)} = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & {\color{red}a_{12}} & {\color{red}a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}b_{11}} & b_{12} \\ {\color{red}b_{21}} & b_{22} \end{pmatrix} $$
möglich?
Das Multiplizieren von $A$ und $B$ ist nicht möglich,da die Spaltenanzahl von $A$ nicht der Zeilenanzahl von $B$ entspricht.
Produktmatrix
Das Ergebnis der Multiplikation heißt Produktmatrix, Matrixprodukt oder Matrizenprodukt.
Die Produktmatrix hat so viele Zeilen wie die Matrix $A$ und so viele Spalten wie die Matrix $B$.
Beispiel 3
$$ A_{({\color{blue}2},3)} \cdot B_{(3,{\color{blue}2})} = C_{({\color{blue}2},{\color{blue}2})} $$
$$ \begin{pmatrix} {\color{blue}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{blue}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}b_{11}} & {\color{blue}b_{12}} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}c_{11}} & {\color{blue}c_{12}} \\ {\color{blue}c_{21}} & {\color{blue}c_{22}} \end{pmatrix} $$
Beispiel 4
$$ A_{({\color{blue}2},3)} \cdot B_{(3,{\color{blue}4})} = C_{({\color{blue}2},{\color{blue}4})} $$
$$ \begin{pmatrix} {\color{blue}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{blue}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}b_{11}} & {\color{blue}b_{12}} & {\color{blue}b_{13}} & {\color{blue}b_{14}} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}c_{11}} & {\color{blue}c_{12}} & {\color{blue}c_{13}} & {\color{blue}c_{14}} \\ {\color{blue}c_{21}} & {\color{blue}c_{22}} & {\color{blue}c_{23}} & {\color{blue}c_{24}} \end{pmatrix} $$
Rechenregeln
$$ (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) $$
Assoziativgesetz
$$ A \cdot (B+C) = (A \cdot B) + (A \cdot C) $$
$$ (A + B) \cdot C = (A \cdot C) + (B \cdot C) $$
Distributivgesetz
ACHTUNG!
Im Allgemeinen gilt: $A \cdot B \neq B \cdot A$.
Das Kommutativgesetz (der Multiplikation) gilt für Matrizen nicht!
Matrizenmultiplikation mit dem Falk-Schema
Um Matrizen per Hand zu multiplizieren, verwendet man meist das sog. Falk-Schema
.
Kreuz einzeichnen
Matrix $\boldsymbol{A}$ unten links eintragen
Matrix $\boldsymbol{B}$ oben rechts eintragen
Ergebnismatrix $\boldsymbol{C}$ unten rechts eintragen
Elemente der Ergebnismatrix $\boldsymbol{C}$ berechnen
Ergebnis notieren
Am besten ist es, wenn wir das Falk-Schema anhand eines Beispiels erklären:
Beispiel 5
Gegeben sind die Matrizen
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. $$
Berechne das Matrixprodukt $A \cdot B$.
Kreuz einzeichnen
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ &&& \phantom{1} & \phantom{2} \\ &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ \hline \phantom{1} & \phantom{2} & \phantom{3} & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ \phantom{3} & \phantom{1} & \phantom{1} & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$
Matrix A unten links eintragen
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ &&& \phantom{1} & \phantom{2} \\ &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ \hline 1 & 2 & 3 & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$
Matrix B oben rechts eintragen
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1\\ &&& 1 & 2\\ &&& 2 & 1\\ \hline 1 & 2 & 3 & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$
Ergebnismatrix C unten rechts eintragen
Hinweis: Diesen Schritt kann man auslassen, wenn man bereits einige Aufgaben gelöst hat.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1 \\ &&& 1 & 2 \\ &&& 2 & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & {\color{red}x_{11}} & {\color{orange}x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & {\color{blue}x_{21}} & {\color{cyan}x_{22}} \end{array} $$
Elemente der Ergebnismatrix C berechnen
${\color{red}x_{11}}$ ergibt sich aus dem Skalarproduktder 1.Zeile der Matrix $A$ und der 1.Spalte der Matrix $B$.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& {\color{red}2} & 1 \\ &&& {\color{red}1} & 2 \\ &&& {\color{red}2} & 1 \\ \hline {\color{red}1} & {\color{red}2} & {\color{red}3} & {\color{red}x_{11}} & x_{12} \\ 3 & 1 & 1 & x_{21} & x_{22} \end{array} $$
$$ x_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = {\color{red}10} $$
${\color{orange}x_{12}}$ ergibt sich aus dem Skalarproduktder 1.Zeile der Matrix $A$ und der 2.Spalte der Matrix $B$.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & {\color{orange}1} \\ &&& 1 & {\color{orange}2} \\ &&& 2 & {\color{orange}1} \\ \hline {\color{orange}1} & {\color{orange}2} & {\color{orange}3} & x_{11} & {\color{orange}x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & x_{21} & x_{22} \end{array} $$
$$ x_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = {\color{orange}8} $$
${\color{blue}x_{21}}$ ergibt sich aus dem Skalarproduktder 2.Zeile der Matrix $A$ und der 1.Spalte der Matrix $B$.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& {\color{blue}2} & 1 \\ &&& {\color{blue}1} & 2 \\ &&& {\color{blue}2} & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & x_{11} & x_{12} \\ {\color{blue}3} & {\color{blue}1} & {\color{blue}1} & {\color{blue}x_{21}} & x_{22} \end{array} $$
$$ x_{21} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1\cdot 2 = {\color{blue}9} $$
${\color{cyan}x_{22}}$ ergibt sich aus dem Skalarproduktder 2.Zeile der Matrix $A$ und der 2.Spalte der Matrix $B$.
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & {\color{cyan}1} \\ &&& 1 & {\color{cyan}2} \\ &&& 2 & {\color{cyan}1} \\ \hline 1 & 2 & 3 & x_{11} & x_{12} \\ {\color{cyan}3} & {\color{cyan}1} & {\color{cyan}1} & x_{21} & {\color{cyan}x_{22}} \end{array} $$
$$ x_{22} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = {\color{cyan}6} $$
Ergebnis notieren
$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1 \\ &&& 1 & 2 \\ &&& 2 & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & {\color{red}10} & {\color{orange}8} \\ 3 & 1 & 1 & {\color{blue}9} & {\color{cyan}6} \end{array} $$
Die Ergebnismatrix lautet demnach
$$ C = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} $$
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